ノルベルト・ムラーラ・ネトは1989年7月19日、ブラジルのミナスジェライス州アラシャに生まれた。クルゼイロのユースを経てアトレチコ・パラナエンセに移籍し、2009年にプロデビュー。翌シーズンには正ゴールキーパーの座を掴んだ。
2011年1月にイタリアのフィオレンティーナへ移籍し、セリエAで経験を積んだ後、2015年にユベントスへ加入。ユベントスではリーグ戦ではジャンルイジ・ブッフォンの控えに回ったが、コッパ・イタリアでは全試合に先発し、2015–16シーズンと2016–17シーズンの2年連続でリーグとカップのダブルを達成した。その後バレンシアで2シーズン正GKを務め、2019年にバルセロナへ移籍してマルク＝アンドレ・テア・シュテーゲンのバックアップを担った。
リーグ戦での控えとしても高いレベルを安定して維持できるゴールキーパーであり、2022年8月にボーンマスへ移籍。2023年にはキャプテンにも就任した。
2024年8月30日、アーセナルへの期限付き移籍が決定。2025年1月のチャンピオンズリーグ・ヘローナ戦に出場したが、それが同クラブでの唯一の試合となった。その後ブラジルのボタフォゴと2年契約を結んでいる。
ブラジル代表には2010年9月に初招集されたが、初キャップ獲得は2018年9月12日のエルサルバドル戦（5–0の勝利）まで待つことになった。また2012年ロンドン五輪ではU-23代表として銀メダルを獲得している。