マチェイ・コヴァージュは2000年5月17日、チェコのウヘルスケー・フラジシュチェ生まれ。地元クラブのスロヴァーツコで育ち、2018年1月に17歳でイングランドに渡り、マンチェスター・ユナイテッドのアカデミーへ入団した。その後、スウィンドン・タウン、バートン・アルビオン、スパルタ・プラハへの期限付き移籍を経てキャリアを積んだ。
キャリアの転機となったのはスパルタ・プラハへの加入だ。リーグ戦28試合に出場してレギュラーの座を確固たるものとし、クラブの2013–14シーズン以来となるリーグ優勝に貢献。シーズン最優秀GKにも選出された。この活躍が評価され、2023年8月にバイエル・レヴァークーゼンへ移籍金770万ポンドで完全移籍。同クラブではブンデスリーガ、DFBポカール、DFLスーパーカップの3冠獲得に貢献した。
落ち着いた判断力と安定したセービングを持つゴールキーパーで、2025年7月にPSVアイントホーフェンへローン移籍後、2026年1月に正式契約を締結。同シーズンのエールディヴィジ優勝にも貢献している。
チェコ代表としては、U-18からU-21まで各年代別代表を歴任。2024年3月のアルメニアとの親善試合でA代表デビューを飾り、同年のUEFA EURO 2024ではトルコ戦に途中出場した。