スヴェン・ウルライヒは1988年8月3日にドイツ・ショルンドルフで生まれ、1998年からVfBシュトゥットガルトのアカデミーで育った。2008年2月9日のヘルタBSC戦（1-3敗戦）でブンデスリーガデビューを飾り、シュトゥットガルトでリーグ通算176試合に出場した後、2015年にバイエルン・ミュンヘンへ控えGKとして加入した。
2017-18シーズン、マヌエル・ノイアーの長期離脱を受けて正GKに昇格し、公式戦47試合に出場。シーズンの「バイエルンの年間最優秀選手」にも選ばれた。一方でチャンピオンズリーグ準決勝レアル・マドリード戦でのミスは長らく記憶されている。2020年夏にアレクサンダー・ニュベルが加入したのを受けて2020年10月にハンブルガーSVへ移籍したが、2021年6月に契約解除となりバイエルンへベテラン控えGKとして復帰した。
バイエルンでは2015-16、2016-17、2017-18、2018-19、2019-20、2021-22、2022-23、2024-25、2025-26とブンデスリーガを連続で制覇したスコッドに名を連ね、DFBポカールおよび2019-20チャンピオンズリーグも手にしている。2026年3月14日のバイエル・レバークーゼン戦（1-1ドロー）で539日ぶりの公式戦出場を果たした。
ドイツ代表は2019年に1度招集を受けたが出場機会はなかった。
身長192センチで、落ち着いた判断とプロ意識の高さを兼備する模範的なベテラン控えGK。長きにわたるバイエルン在籍は、マヌエル・ノイアー時代の複数の世代をつなぐ役割も果たしてきた。