オスカー・ボブは2003年7月12日、ノルウェーのオスロで生まれた。地元クラブFKリンのアカデミーでキャリアをスタートさせ、10歳のころにはFCポルトから注目を集めた。しかしFIFAやスポーツ仲裁裁判所の裁定により移籍は認められず、帰国後はヴォレレンガの下部組織でプレーした。2019年7月にマンチェスター・シティに加入し、着実にトップチームへの道を切り開いていった。
プレースタイルは技術的に洗練されたウインガーで、落ち着いたボールキープと鋭いゴール感覚が特徴とされる。2023年9月にプレミアリーグデビューを果たすと、同年12月にはチャンピオンズリーグでゴールを記録。2024年1月にはニューカッスル戦で決勝ゴールを決め、プレミアリーグ月間最優秀ゴール賞を受賞した。マンチェスター・シティ在籍中には、プレミアリーグ優勝（2023–24）、UEFAスーパーカップ、FIFAクラブワールドカップなどのタイトル獲得に貢献している。
2024年8月のプレシーズン中に足の骨折を負い、長期離脱を余儀なくされた。2025年のFIFAクラブワールドカップで復帰し、アル・アインとの試合でゴールを挙げた。その後、2026年1月に2700万ポンドの移籍金でフラムFCへ加入し、5年半の契約を結んでいる。
ノルウェー代表としては2023年10月のキプロス戦でA代表デビューを飾り、同年11月のフェロー諸島戦で代表初ゴールを記録している。