ティボー・ニコラ・マルク・クルトワは1992年5月11日、ベルギー・リンブルフ州ブレーで生まれた。7歳でヘンクのアカデミーに加入し、左サイドバックからゴールキーパーへ転向。16歳でシニアデビューを果たし、2010-11シーズンのベルギー・プロ・リーグ優勝に貢献(40試合32失点)。2011年にチェルシーが獲得後すぐにアトレティコ・マドリードへレンタル移籍し、3シーズンでラ・リーガ(2013-14)、コパ・デル・レイ(2012-13)、UEFAヨーロッパリーグ(2011-12)を制覇、2014年CL決勝にも出場した。
2014年にチェルシー復帰後はファースト・チョイスのGKとしてプレミアリーグ2度優勝(2014-15、2016-17)、EFLカップ、2016-17シーズンのプレミアリーグ・ゴールデングローブを獲得。2018年8月にレアル・マドリードへ約3,500万ポンドという当時のGK最高額で移籍。マドリードではラ・リーガ3度、UEFAチャンピオンズリーグ2度の優勝を経験している。2021-22 CL決勝のリバプール戦では9セーブを記録してマン・オブ・ザ・マッチに選ばれ(2003-04以降の最多記録)、2023-24でもCL制覇に貢献した。2022年にはヤシン・トロフィーを受賞し、サモラ賞は3度獲得している。
2023年8月に左膝前十字靭帯断裂、2024年3月には半月板損傷を負い2023-24シーズンの大半を欠場したが、2024年5月のCL決勝で先発復帰を果たしている。2025-26シーズンはルカ・モドリッチ退団に伴いレアル・マドリードの第3キャプテンに就任。ただ、マンチェスター・シティ戦で大腿直筋断裂、その後ベルギー代表合流中にも別の大腿四頭筋トラブルが発生するなど、シーズンを通じて出場機会が制限されている。
ベルギー代表ではファースト・チョイスのGKとして100キャップ以上を記録。2018年W杯で代表史上最高となる3位入賞に貢献し、ゴールデングローブ賞を受賞、これまで5度の主要国際大会出場を果たしている。199cmの長身を活かしたリーチ、ポジショニング、冷静さと反応の速さを兼ね備える、世界トップクラスのGKと評価されている。