アルタイ・バユンドゥルは1998年4月14日、トルコのブルサに生まれた。MKEアンカラギュジュの下部組織で育ち、2018年11月にスュペル・リグのデビューを果たした。その活躍が評価され、2019年7月にフェネルバフチェへ移籍。4年間で145試合に出場し、クラブの正ゴールキーパーとして確固たる地位を築いた。2022–23シーズンにはトルコカップ制覇に貢献し、スュペル・リグを代表するゴールキーパーの一人として名を知られるようになった。
2023年9月、バユンドゥルはトルコ人選手として初めてマンチェスター・ユナイテッドへ加入するという歴史的な一歩を踏み出した。移籍金は約430万ポンドと報じられ、4年契約を結んだ。2025年1月のFAカップ・アーセナル戦では、延長戦でマルティン・ウーデゴーアのPKをストップし、さらにPK戦でもカイ・ハーフェルツのシュートを阻止するなど、マン・オブ・ザ・マッチに選ばれる活躍を見せた。また、2023–24シーズンにはFAカップ優勝のメダルも手にしている。
冷静かつ安定したセービングを持ち味とするバユンドゥルは、マンチェスター・ユナイテッドにおける重要な戦力として起用されている。トルコ代表としては2021年5月にA代表デビューを飾り、UEFA EURO 2024にも選出されるなど、代表チームでの経験を着実に積み重ねている。